数列的问题,a1=3,an+1=an^2-2,求an

Question

数列的问题,a1=3,an+1=an^2-2,求an

Answer 1

这个题目很有意思,以前我有研究过
设a1=t+1/t(这里解出t的值,随便取一个根都行)
带入通项公式a2=(t+1/t)²-2=t²+1/t² 同理 a3=t^4+1/t^4
猜想an=t^[2^(n-1)]+1/t^[2^(n-1)]
下面用数学归纳法证明
令n=k的时候
ak=t^[2^(k-1)]+1/t^[2^(k-1)]
那么n=k+1的时候
ak+1=(ak)²-2=t^[2^k]+1/t^[2^k]
n=1的时候满足方程的,
所以通项公式an=t^[2^(n-1)]+1/t^[2^(n-1)]
另外说一下,这里a1=3 a1=t+1/t存在实数根
如果a1