如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在边A1B1、B1C1，C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2、B1B2、C1C2、D1D2=13A1B1，…，依次规律继续

Question

如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A₁、B₁、C₁、D₁，使AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=

(1)/(3)a，在边A₁B₁、B₁C₁，C₁D₁、D₁A₁上分别取点A₂、B₂、C₂、D₂，使A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂、D₁D₂=(1)/(3)A₁B₁，…，依次规律继续下去，则正方形A_nB_nC_nD_n的面积为（　　）

A.

(8)/(9)a2

B. （

(4)/(9)）ⁿa²

C. （

(5)/(9)）^n-1a²

D. （

(5)/(9)）ⁿa²

Answer 1

在Rt△A₁BB₁中，由勾股定理可知；A₁B₁²=A₁B²+B₁B²=（(2)/(3)a）²+（(1)/(3)a）²=(5)/(9)a²，即正方形A₁B₁C₁D₁的面积=(5)/(9)a²；
在Rt△A₂B₁B₂中，由勾股定理可知：A₂B₂²=A₂B₁²+B₂B₁²=（(2)/(3)×(√(5))/(3)a）²+（(1)/(3)×(√(5))/(3)a）²=（(5)/(9)）²a²；即正方形A₂B₂C₂D₂的面积=（(5)/(9)）²a²；
…
∴正方形A_nB_nC_nD_n的面积=（(5)/(9)）ⁿa²．
故选D．