已知各项全不为零的数列｛An｝的前n项和为Sn,且Sn=An*An+1,A1=1（1）求数列{An}的通项公式（2）求数列｛An+An+1｝的前2n项和Tn

Question

已知各项全不为零的数列｛An｝的前n项和为Sn,且Sn=An*An+1,A1=1
（1）求数列{An}的通项公式
（2）求数列｛An+An+1｝的前2n项和Tn

Answer 1

(1)
S1=a1=a1a2,a1=1代入,a2=1
n≥2时,
Sn=ana(n+1) S(n-1)=a(n-1)an
Sn-S(n-1)=ana(n+1)-a(n-1)an
an=ana(n+1)-ana(n-1)
数列各项均为为0,等式两边同除以an
a(n+1)-a(n-1)=1,为定值.
数列的奇数项是以1为首项,1为公差的等差数列；偶数项是以1为首项,1为公差的等差数列.
即数列为1,1,2,2,3,3,……
数列的通项公式为
an=(n+1)/2 n为奇数
n/2 n为偶数
整理成统一的通项公式：an=[2n+1-(-1)ⁿ]/4
(2)
[a(n+1)+an]-[an+a(n-1)]=a(n+1)-a(n-1)=1,为定值.
a1+a2=1+1=2
数列{an+a(n+1)}是以2为首项,1为公差的等差数列.
Tn=(2n)×2+(2n)(2n-1)/2=2n²+3n