设a,b属于R+,且a+b=2,求证1/(1+a2)+1/(1+b2)≥1

Question

设a,b属于R+,且a+b=2,求证1/(1+a2)+1/(1+b2)≥1

Answer 1

证明：由于a,b属于R+,则有a²+b²≥2ab,即(a+b)²≥4ab
　　　而a+b=2,于是得到：ab≤(a+b)²/4=1
　　　则1≥a²b²
　　　不等式两边同加1+a²+b² 得：
　　　1+1+a²+b²≥a²b²+1+a²+b²
　　　即：(1+a²)＋(1+b²)≥(1+a²)(1+b²)
　　　由于(1+a²)(1+b²)＞0,不等式两边同除以(1+a²)(1+b²),不等式不变号
　　　得出结论：1/(1+a²)+1/(1+b²)≥1
　　　证毕.