急!请教一道数学题目题目：a>0,b>0,a+b=1求证：（1/a2-1）(1/b2-1)≥9

Question

急!请教一道数学题目
题目：
a>0 , b>0 , a+b=1
求证：
（1/a2-1）(1/b2-1)≥9

Answer 1

思想方法：a+b=1 ,可考虑三角换元 以下a^2代表a的平方
(sinx)^4 ,sinx^4都代表sinx 的4次方,是一个整体,化简过程可以自己做.
因为a>0 ,b>0 ,a+b=1
可设a=(sinx)^2,a属于（0,Л/2) 则b=(cosx)^2
然后代入左边化简,以下为化简过程
所以不等式左边等于（1/(sinx)^4-1)(1/(cosx)^4-1)=(1-(sinx)^4)/(sinx)^4 * (1-(cosx)^4)/(cosx)^4
=(1-(sinx)^4)(1-(cosx)^4)/(sinx^4*cosx^4)
=(1+sinx^2)(1-sinx^2)(1+cosx^2)(1-cosx^2)/(sinxcosx)^4
=(sinxcosx)^2*(1+sinx^2)(1+cosx^2)/(sinxcosx)^4
=(1+sinx^2)(1+cosx^2)/(sinxcosx)^2
分子展开,得
=(1+sinx^2+cosx^2+sinx^2*cosx^2)/(sinxcosx)^2
=(2+(sinxcosx)^2)/(sinxcosx)^2
=2/(sinxcosx)^2 + 1
sinxcosx=1/2 sin2x,所以
=2/(1/2sin2x)^2+1
=8/(sinx)^2 +1
(sinx)^2≤1 所以,上式≥8+1=9