设f（x）在[0，a]有连续的一阶导数，在（0，a）二阶可导且f″（x）＞0（x∈（0，a）），又f（0）=0．证明：∫a0xf（x）dx＞2a3∫a0f（x）dx．

Question

设f（x）在[0，a]有连续的一阶导数，在（0，a）二阶可导且f″（x）＞0（x∈（0，a）），又f（0）=0．证明：

∫

a 0

xf（x）dx＞(2a)/(3)

∫

a 0

f（x）dx．

Answer 1

令F（x）=

∫

x 0

tf(t)dt-(2x)/(3)

∫

x 0

f(t)dt（x∈（0，a）），则
F′（x）=(1)/(3)xf(x)-(2)/(3)

∫

x 0

f(t)dt，
F″（x）=(1)/(3)xf′(x)-(1)/(3)f(x)，
F″′（x）=(1)/(3)xf″(x)．
因为f″（x）＞0，
所以F″′（x）＞0，
从而F″（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F″（x）＞F″（0）=-(1)/(3)f（0）=0．
所以F′（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F′（x）＞F′（0）=0．
所以，F（x）在[0，a]上为严格单调递增函数，故∀x∈（0，a]，F（x）＞F（0）=0．
从而，F（a）＞0，
即：

∫

a 0

xf(x)dx＞(2a)/(3)

∫

a 0

f(x)dx．