已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn=lnan，b3=18，b6=12，则数列{bn}前n项和的最大值为．

Question

已知等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，数列{b_n}满足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，则数列{b_n}前n项和的最大值为______．

Answer 1

∵等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，
数列{b_n}满足b_n=lna_n，b₃=18，b₆=12，
∴a₃=a₁q²=eb3=e¹⁸，
a6＝a1q5=eb6=e¹²，
∴(a6)/(a3)=q³=(e12)/(e18)=e^-6，
解得q=e^-2，a₁=(a3)/(q2)=(e18)/(e−4)=e²²，
∴{a_n}的通项公式为an＝e22•(e−2)n−1=e^24-2n，
∵数列{b_n}满足b_n=lna_n，
bn＝lne24−2n=24-2n，
当n=12时，b_n=0
则当n≥12时，b_n＜0
∴{b_n}的前n项和S_n取最大值时，n=12，
∴S_n的最大值是S₁₂=(12)/(2)(b1+b12)=6（24-2+24-24）=132．
故答案为：132．