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已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值为.
题目详情
已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值为______.
▼优质解答
答案和解析
∵等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,
数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,
∴a3=a1q2=eb3=e18,
a6=a1q5=eb6=e12,
∴
=q3=
=e-6,
解得q=e-2,a1=
=
=e22,
∴{an}的通项公式为an=e22•(e−2)n−1=e24-2n,
∵数列{bn}满足bn=lnan,
bn=lne24−2n=24-2n,
当n=12时,bn=0
则当n≥12时,bn<0
∴{bn}的前n项和Sn取最大值时,n=12,
∴Sn的最大值是S12=
(b1+b12)=6(24-2+24-24)=132.
故答案为:132.
数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,
∴a3=a1q2=eb3=e18,
a6=a1q5=eb6=e12,
∴
a6 |
a3 |
e12 |
e18 |
解得q=e-2,a1=
a3 |
q2 |
e18 |
e−4 |
∴{an}的通项公式为an=e22•(e−2)n−1=e24-2n,
∵数列{bn}满足bn=lnan,
bn=lne24−2n=24-2n,
当n=12时,bn=0
则当n≥12时,bn<0
∴{bn}的前n项和Sn取最大值时,n=12,
∴Sn的最大值是S12=
12 |
2 |
故答案为:132.
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