已知1a+1b+1c=1a+b+c，求证1a7+1b7+1c7=1a7+b7+c7．

Question

已知(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)=(1)/(a+b+c)，求证(1)/(a7)+(1)/(b7)+(1)/(c7)=(1)/(a7+b7+c7)．

Answer 1

证明：(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)=(1)/(a+b+c)，两边同时乘以abc （abc不等于0）得bc+ac+ab=(abc)/(a+b+c)，
两边同时乘以a+b+c得，
a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+3abc=abc，
∴a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=0，
∴a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc²+2abc=（a+b）（b+c）（a+c）=0，
∴a+b，b+c，c+a中，至少有一个是0，
故当n为奇数时aⁿ+bⁿ，bⁿ+cⁿ，aⁿ+cⁿ至少有一个是0，
∴(1)/(a7)+(1)/(b7)+(1)/(c7)-(1)/(a7+b7+c7)=((a7+b7)(b7+c7)(a7+b7))/(a7b7c7(a7+b7+c7))=0．
∴(1)/(a7)+(1)/(b7)+(1)/(c7)=(1)/(a7+b7+c7)．