（2014•浙江模拟）过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2=b2的切线FQ（Q为切点）交椭圆于点P，当点Q恰为FP的中点时，椭圆的离心率为（）A．53B．32C．12D．52

Question

（2014•浙江模拟）过椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x²+y²=b²的切线FQ（Q为切点）交椭圆于点P，当点Q恰为FP的中点时，椭圆的离心率为（　　）

A．(√(5))/(3)
B．(√(3))/(2)
C．(1)/(2)
D．(√(5))/(2)

Answer 1

如图所示，
设直线FQ的方程为：y=k（x-c），
∵此直线与圆x²+y²=b²的相切于Q，
∴(|0−kc|)/(√(1+k2))=b，
解得k=-(b)/(√(c2−b2))，
联立

y＝(−b)/(√(c2−b2))(x−c)

x2+y2＝b2

，解得

x＝(b2)/(c)

y＝(b√(c2−b2))/(c)

．
∵点Q是FP的中点，
∴

(2b2)/(c)＝xP+c

(2b√(c2−b2))/(c)＝yP

，解得xP＝(2b2−c2)/(c)，yP＝(2b√(c2−b2))/(c)，
∵点P在椭圆上，∴((2b2−c2)2)/(a2c2)+(4b2(c2−b2))/(b2c2)＝1，
又b²=a²-c²，
化为9c²=5a²，
∴e＝(c)/(a)＝(√(5))/(3)．
故选：A．