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bn=n/(2^(n-1)),求证b1+b2+b3+……+bn
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bn=n/(2^(n-1)),求证b1+b2+b3+……+bn
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答案和解析
记Sn=b1+b2+b3+……+bn
Sn=1/1+2/2+3/4+4/8+5/16+.+n/2^(n-1)
(1/2)Sn=1/2+2/4+3/8+4/16+5/31+.+n/2^n
上面两式相减
(1/2)Sn=1/1+1/2+1/4+1/8+.+1/2^(n-1)-n/2^n
=[1-(1/2)^n]/[1-(1/2)]-n/2^n
= [1-(1/2)^n]/(1/2)-n/2^n
=2[1-(1/2)^n]-n/2^n
Sn=4[1-(1/2)^n]-2n/2^n
Sn=1/1+2/2+3/4+4/8+5/16+.+n/2^(n-1)
(1/2)Sn=1/2+2/4+3/8+4/16+5/31+.+n/2^n
上面两式相减
(1/2)Sn=1/1+1/2+1/4+1/8+.+1/2^(n-1)-n/2^n
=[1-(1/2)^n]/[1-(1/2)]-n/2^n
= [1-(1/2)^n]/(1/2)-n/2^n
=2[1-(1/2)^n]-n/2^n
Sn=4[1-(1/2)^n]-2n/2^n
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