设实数a，b满足a≠b，求证：a4+b4＞ab（a2+b2）．

Question

设实数a，b满足a≠b，求证：a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．

Answer 1

选修4-5：不等式选讲
证明：作差得a⁴+b⁴-ab（a²+b²）=a³（a-b）+b³（b-a）=（a-b）²（a²+ab+b²）．         …（4分）
=（a-b）²[（a+(b)/(2)）²+(3b2)/(4)]．                                  …（6分）
因为a≠b，所以a，b不同时为0，故（a+(b)/(2)）²+(3b2)/(4)＞0，（a-b）²＞0，
所以（a-b）²[（a+(b)/(2)）²+(3b2)/(4)]＞0． 
即有a⁴+b⁴＞ab（a²+b²）．  …（10分）