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已知{an}是公差d≠0的等差数列,a2,a6,a22成等比数列,a4+a6=26;数列{bn}是公比q为正数的等比数列,且b3=a2,b5=a6.(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
题目详情
已知{an}是公差d≠0的等差数列,a2,a6,a22成等比数列,a4+a6=26;数列{bn}是公比q为正数的等比数列,且b3=a2,b5=a6.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Tn.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵{an}是公差d≠0的等差数列,且a4+a6=26,
∴a5=13,
又∵a2,a6,a22成等比数列,
∴(13+d)2=(13-3d)(13+17d),
解得:d=3或d=0(舍),
∴an=a5+(n-5)d=3n-2;
又∵b3=a2,b5=a6,
∴q2=
=
=
=4,
∴q=2或q=-2(舍),
又∵b3=a2=4,
∴bn=b3•qn-3=4•2n-3=2n-1;
(Ⅱ)由(I)可知,an•bn=(3n-2)•2n-1,
∴Tn=1•20+4•21+7•22+…+(3n-5)•2n-2+(3n-2)•2n-1,
2Tn=1•21+4•22+…+(3n-5)•2n-1+(3n-2)•2n,
错位相减得:-Tn=1+3(21+22+…+2n-1)-(3n-2)•2n
=1+3•
-(3n-2)•2n
=-5-(3n-5)•2n,
∴Tn=5+(3n-5)•2n.
∴a5=13,
又∵a2,a6,a22成等比数列,
∴(13+d)2=(13-3d)(13+17d),
解得:d=3或d=0(舍),
∴an=a5+(n-5)d=3n-2;
又∵b3=a2,b5=a6,
∴q2=
b5 |
b3 |
a6 |
a2 |
3×6-2 |
3×2-2 |
∴q=2或q=-2(舍),
又∵b3=a2=4,
∴bn=b3•qn-3=4•2n-3=2n-1;
(Ⅱ)由(I)可知,an•bn=(3n-2)•2n-1,
∴Tn=1•20+4•21+7•22+…+(3n-5)•2n-2+(3n-2)•2n-1,
2Tn=1•21+4•22+…+(3n-5)•2n-1+(3n-2)•2n,
错位相减得:-Tn=1+3(21+22+…+2n-1)-(3n-2)•2n
=1+3•
2(1-2n-1) |
1-2 |
=-5-(3n-5)•2n,
∴Tn=5+(3n-5)•2n.
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