设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列．记cn=an+bn．（1）求证：数列{cn+1-cn-d}为等比数列；（2）已知数列{cn}的前4项分别为4，10，19，34．①求数列{an}和{bn}的通项公式

Question

设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q≠1）的等比数列．记c_n=a_n+b_n．
（1）求证：数列{c_n+1-c_n-d}为等比数列；
（2）已知数列{c_n}的前4项分别为4，10，19，34．
①求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②是否存在元素均为正整数的集合A={n₁，n₂，…，n_k}（k≥4，k∈N^*），使得数列cn1，cn2，…，cnk为等差数列？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：依题意，c_n+1-c_n-d=（a_n+1+b_n+1）-（a_n+b_n）-d=（a_n+1-a_n）-d+（b_n+1-b_n）=b_n（q-1）≠0，…3分
从而(cn+2-cn+1-d)/(cn+1-cn-d)=(bn+1(q-1))/(bn(q-1))=q，又c₂-c₁-d=b₁（q-1）≠0，
所以{c_n+1-c_n-d}是首项为b₁（q-1），公比为q的等比数列．        …5分
（2） ①由（1）得，等比数列{c_n+1-c_n-d}的前3项为6-d，9-d，15-d，
则（9-d）²=（6-d）（15-d），
解得d=3，从而q=2，…7分
且

a1+b1=4

a1+3+2b1=10

解得a₁=1，b₁=3，
所以a_n=3n-2，bn=3•2n-1．                              …10分
②假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r∈A（l<m<p<r），且c_l，c_m，c_p，c_r成等差数列，
则2c_m=c_p+c_l，
因为c_l>0，所以2c_m>c_p，①
若p>m+1，则p≥m+2，
结合①得，2[（3m-2）+3•2^m-1]>（3p-2）+3•2^p-1≥3（m+2）-2+3•2^m+1，
化简得，2m-m<-(8)/(3)<0，②
因为m≥2，m∈N^*，不难知2^m-m>0，这与②矛盾，
所以只能p=m+1，
同理，r=p+1，
所以c_m，c_p，c_r为数列{c_n}的连续三项，从而2c_m+1=c_m+c_m+2，
即2（a_m+1+b_m+1）=a_m+b_m+a_m+2+b_m+2，
故2b_m+1=b_m+b_m+2，只能q=1，这与q≠1矛盾，
所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A．                  …16分