（2014•九江三模）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=22．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求平面BC1D1与平面BB1D1D夹角的余弦值．

Question

（2014•九江三模）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A₁O⊥平面ABCD，A₁A=BD=2，AC=2√(2)．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面BC₁D₁与平面BB₁D₁D夹角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD，
∵A₁O∩AC=O，∴BD⊥平面A₁AC，∴BD⊥A₁C，
由已知A₁A=2，AC=2√(2)，
又AO=OC，A₁O⊥AC，
∴A₁A=A₁C=2，A₁A²+A₁C²=AC²，∴A₁C⊥A₁A，
∵B₁B∥A₁A，∴A₁C⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）以O为坐标原点，建立坐标系，则A（√(2)，0，0），B（0，1，0），C₁（-2√(2)，0，√(2)），
∴

.

BC1

=（-2√(2)，-1，√(2)），

C1D1

＝

作业帮用户 2017-11-13 举报

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问题解析

（1）证明BD⊥A₁C，A₁C⊥A₁A，即可证明A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求出平面BC₁D₁的一个法向量、平面BB₁D₁D的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BC₁D₁与平面BB₁D₁D夹角的余弦值．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查线面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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