在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E是体对角线BD1上的一点,切BE:ED1=1:3,试求AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值.要用空间向量做.但是那个E的坐标怎么求啊?

Question

在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E是体对角线BD1上的一点,切BE:ED1=1:3,试求AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值.
要用空间向量做.但是那个E的坐标怎么求啊?

Answer 1

用到内分的定比分点公式,x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ),
z=(z1+λz2)/(1+λ),
λ=1/3,
以A为原点,分别以AB、AD、AA1为X、Y、Z轴建系,
A（0,0,0）,B（1,0,0）,D1（0,1,1）,
E（3/4,1/4,1/4),
向量AE=（3/4,1/4,1/4)
|AE|=√（9/16+1/16+1/16）=√11/4,
因AB⊥平面BCC1B1,故向量AB是平面BCC1B1的一法向量,
向量AB=（1,0,0）,
而AE和其法向量的成角就是AE和平面BCC1B1所成角的余角,
向量AE·AB=3/4,
cos设AE与平面BCC1B1所成的角为θ,θ+∴sinθ=cosAE与平面BCC1B1所成的角的正弦值为3√11/11.