正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、C1D1的中点．求证：（1）平面D1AC⊥平面B1D1BD；（2）直线EF∥平面D1AC．

Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC、C₁D₁的中点．求证：
（1）平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD；  
（2）直线EF∥平面D₁AC．

Answer 1

（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，∴B₁B⊥AC
又∵AC⊥BD，BD∩B₁B=O，∴AC⊥平面平面B₁D₁BD，
∴平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD
（2）连接OE，D₁O，∵O，E分别为BC，BD中点，∴OE∥(1)/(2)BC，
∵DC∥D₁C，F为D₁C的中点，∴D₁F∥(1)/(2)BC，
∴OE∥D₁F，且OE=D₁F，
∴四边形D₁FEO为平行四边形，
∴EF∥D₁O，又∵D₁O⊂平面D₁AC，
∴直线EF∥平面D₁AC．