（2014•天津模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求AEAB的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值

Question

（2014•天津模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱AB上的动点．
（Ⅰ）求证：DA₁⊥ED₁；
（Ⅱ）若直线DA₁与平面CED₁成角为45°，求(AE)/(AB)的值；
（Ⅲ）写出点E到直线D₁C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．

Answer 1

以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）
（Ⅰ）证明：

DA1

=（1，0，1），

ED1

=（-1，-m，1）
∴

DA1

•

ED1

=0
∴DA₁⊥ED₁；（4分）
（Ⅱ）设平面CED₁的一个法向量为

v

=（x，y，z），则
∵

CD1

=（0，-1，1），

CE

=（1，m-1，0）
∴

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问题解析

（Ⅰ）建立坐标系，求出

DA1

=（1，0，1），

ED1

=（-1，-m，1），可得

DA1

•

ED1

=0，即可证明DA₁⊥ED₁；
（Ⅱ）求出平面CED₁的一个法向量，利用直线DA₁与平面CED₁成角为45°，可得(|2−m|)/(√(2)•√(m2−2m+3))=(√(2))/(2)，即可求(AE)/(AB)的值；
（Ⅲ）点E在A点处，可求点E到直线D₁C距离的最大值．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．

考点点评：

本题考查线线垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求向量是关键．

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