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分别以△ABC的边AC、BC为边,向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2,连接D1D2.(1)如图1,过点C作MH⊥AB于点H,交D1D2于点G.若CM=AB,连接MD1,MD2,试证明四边形D1CD2M是平行四边形.(2)如图2
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分别以△ABC的边AC、BC为边,向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2,连接D1D2.
(1)如图1,过点C作MH⊥AB于点H,交D1D2于点G.若CM=AB,连接MD1,MD2,试证明四边形D1CD2M是平行四边形.
(2)如图2,CF为AB边中线,试探究CF与线段D1D2的数量关系,并加以证明.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/21a4462309f790521749d98f0ff3d7ca7bcbd529.jpg)
(1)如图1,过点C作MH⊥AB于点H,交D1D2于点G.若CM=AB,连接MD1,MD2,试证明四边形D1CD2M是平行四边形.
(2)如图2,CF为AB边中线,试探究CF与线段D1D2的数量关系,并加以证明.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/21a4462309f790521749d98f0ff3d7ca7bcbd529.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图,过点D1作D1N⊥CM于N,
∵MH⊥AB,
∴∠BAC+∠ACH=90°,
∵∠ACD1=90°,
∴∠MCD1+∠ACH=90°,
∴∠BAC=∠MCD1,
∵四边形ACD1E1是正方形,
∴AC=CD1,
在△ACH和△CD1N中,
,
∴△ACH≌△CD1N(AAS),
∴AH=CN,CH=D1N,
∵CM=AB,
∴BH=MN,
在△BCH和△MD1N中,
,
∴△BCH≌△MD1N(SAS),
∴D1M=BC,∠D1MN=∠CBH,
∵四边形BCD2E2是正方形,
∴BC=CD2,∠BCD2=90°,
∴D1M=CD2,∠CBH=∠MCD2,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828ba48b0352fe1f4134960a5ad2.jpg)
∴∠D1MN=∠MCD2,
∴D1M∥CD2,
∴四边形D1CD2M是平行四边形;
(2)D1D2=2CF.
证明如下:如图,延长CF至G,使FG=CF,
∵CF是AB边的中线,
∴AF=BF,
在△ACF和△BGF中,
,
∴△ACF≌△BGF(SAS),
∴AC=BG,∠G=∠ACF,
∴AC∥BG,
∴∠CBG+∠ACB=180°,
∵∠D1CD2+∠ACB=360°-2×90°=180°,
∴∠D1CD2=∠CBG,
在△CBG和△D2CD1中,
∵MH⊥AB,
∴∠BAC+∠ACH=90°,
∵∠ACD1=90°,
∴∠MCD1+∠ACH=90°,
∴∠BAC=∠MCD1,
∵四边形ACD1E1是正方形,
∴AC=CD1,
在△ACH和△CD1N中,
|
∴△ACH≌△CD1N(AAS),
∴AH=CN,CH=D1N,
∵CM=AB,
∴BH=MN,
在△BCH和△MD1N中,
|
∴△BCH≌△MD1N(SAS),
∴D1M=BC,∠D1MN=∠CBH,
∵四边形BCD2E2是正方形,
∴BC=CD2,∠BCD2=90°,
∴D1M=CD2,∠CBH=∠MCD2,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828ba48b0352fe1f4134960a5ad2.jpg)
∴∠D1MN=∠MCD2,
∴D1M∥CD2,
∴四边形D1CD2M是平行四边形;
(2)D1D2=2CF.
证明如下:如图,延长CF至G,使FG=CF,
∵CF是AB边的中线,
∴AF=BF,
在△ACF和△BGF中,
|
∴△ACF≌△BGF(SAS),
∴AC=BG,∠G=∠ACF,
∴AC∥BG,
∴∠CBG+∠ACB=180°,
∵∠D1CD2+∠ACB=360°-2×90°=180°,
∴∠D1CD2=∠CBG,
在△CBG和△D2CD1中,
作业帮用户
2017-10-20
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