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四边形四条边长分别为a,b,c,d,它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形的形状.
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四边形四条边长分别为a,b,c,d,它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形的形状.
▼优质解答
答案和解析
由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0,
所以(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0,
即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.
因为a,b,c,d都是实数,
所以(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0,
所
由于a,b,c,d都为正数,所以,解①,②,③有
a=b=c=d.
故此四边形为菱形.
a4+b4+c4+d4-4abcd=0,
所以(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0,
即(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0.
因为a,b,c,d都是实数,
所以(a2-b2)2≥0,(c2-d2)2≥0,(ab-cd)2≥0,
所
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由于a,b,c,d都为正数,所以,解①,②,③有
a=b=c=d.
故此四边形为菱形.
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