已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R），e为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）在区间（e，+∞）上的单调性，并求出极值．（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2>e2．

Question

已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R），e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）在区间（e，+∞）上的单调性，并求出极值．
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求证：x₁x₂>e²．

Answer 1

（1）∵f′（x）=(1)/(x)-m=(1-mx)/(x)，x>0；    
①当m≤0时，f′（x）>0，∴函数f （x）在（e，+∞）上单调递增，此时f （x）无极值．
②当m>0时，令f′（x）=0，得x=(1)/(m)．
若(1)/(m)≤e，即m≥(1)/(e)时，当x∈（e，+∞）时，f′（x）<0，函数f （x）在（e，+∞）上单调递
减，此时f （x）无极值；                              
若(1)/(m)>e，即0<m<(1)/(e)时，由函数y=1-mx的图象可知函数f （x）在（e，(1)/(m)）上单调递
增，在（(1)/(m)，+∞）上单调递减，此时f （x）有极大值为f（(1)/(m)）=-lnm-1，无极小值．      
综上，当m≤0时，f （x）在（e，+∞）上单调递增，f （x）无极值．
当0<m<(1)/(e)时，f （x）在（e，(1)/(m)）上单调递增，在（(1)/(m)，+∞）上单调递减，此时f （x）有极
大值为f（(1)/(m)）=-lnm-1，无极小值．
当m≥(1)/(e)时，f （x）在（e，+∞）上单调递减，f （x）无极值．    
（III）∵f（x）有两个相异零点，∴设lnx₁=mx₁，lnx₂=mx₂，①
即lnx₁-lnx₂=m（x₁-x₂），
∴(lnx1-lnx2)/(x1-x2)=m②
而x₁•x₂>e²，等价于：lnx₁+lnx₂>2，即m（x₁+x₂）>2，③
由①②③得：(lnx1-lnx2)/(x1-x2)（x₁+x₂）>2，
不妨设x₁>x₂>0，则t=(x1)/(x2)>1，
上式转化为：lnt>(2(t-1))/(t+1)，t>1
设H（t）=lnt-(2(t-1))/(t+1)，t>1，
则H′（t）=((t-1)2)/(t(t+1)2)>0，
故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴H（t）>H（1）=0，
即不等式lnt>

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