已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥−x2+mx−32恒成立，求实数m的最大值．

Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e²，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥(−x2+mx−3)/(2)恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得，g′（x）=f′（x）+a=lnx+a+1，
∵函数g（x）在区间[e²，+∞）上为增函数，
∴当x∈[e²，+∞）时，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e²，+∞）上恒成立，
∴a≥-1-lnx，
又当x∈[e²，+∞）时，lnx∈[2，+∞），
∴-1-lnx∈（-∞，-3]，
∴a≥-3．
（Ⅱ）因为2f（x）≥-x²+mx-3，即mx≤2x•lnx+3+x²，
又x＞0，所以m≤(2x•lnx+x2+3)/(x)，令h（x）=(2x•lnx+x2+3)/(x)，
h′（x）=((2xlnx+x2+3)x′−(2xlnx+x2+3)•x′)/(x2)=(2x+x2−3)/(x2)，
令h′（x）=0解得：x=1或x=-3（舍），
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
   因为对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥(−x2+mx−3)/(2)恒成立，
所以m≤h（x）_min=4，即m的最大值为4．