若函数f（x）=x（lnx-a）（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）设g（x）=|f（x）|．①求函数g（x）的单调区间；②若函数h（x）=1g(x)的定义域为[1，e2]，求函数h（

Question

若函数f（x）=x（lnx-a）（a为实常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设g（x）=|f（x）|．
①求函数g（x）的单调区间；
②若函数h（x）=(1)/(g(x))的定义域为[1，e²]，求函数h（x）的最小值m（a）．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
∴k=f′（1）=1，
又当x=1时，y=0，
∴切点为（1，0），
∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1；
（2）∵g（x）=|f（x）|=|x（lnx-a）|=x|lnx-a|=

xlnx−ax，x≥ea

ax−xlnx，x＜ea

，
①当x≥e^a时，g′（x）=lnx+1-a＞0恒成立，
∴x∈（e^a，+∞）时，函数g（x）为增函数；
当x＜e^a时，g′（x）=a-1-lnx，令g′（x）=a-1-lnx＞0，得0＜x＜e^a-1，
令g′（x）=a-1-lnx＜0，得x＞e^a-1，
∴函数g（x）的单调增区间为（e^a，+∞），（0，e^a-1）；单调减区间为（e^a-1，e^a）；
②当x∈[1，e²]时，lnx∈[0，2]，
∵h（x）=(1)/(g(x))=(1)/(x|lnx−a|)的定义域为[1，e²]，
∴a＞2或a＜0，
（i）当a＜0时，e^a＜1，
∴函数g（x）在[1，e²]上单调递增，则g（x）的最大值为（2-a）e²，
∴h（x）在区间[1，e²]上的最小值为m（a）=(1)/((2−a)e2)；
（ii）当2＜a＜3时，e²＜e^a，且1＜e^a-1＜e²，
∴函数g（x）在[1，e^a-1）上单调递增，在（e^a-1，e²]上单调递减，则g（x）的最大值为e^a-1，
∴h（x）在区间[1，e²]上的最小值为m（a）=(1)/(ea−1)；
（iii）当a≥3时，e^a-1＞e²，
∴函数g（x）在[1，e²]上单调递增，则g（x）的最大值为（a-2）e²，
∴h（x）在区间[1，e²]上的最小值为m（a）=(1)/((a−2)e2)．
综上所述，函数h（x）的最小值m（a）=√((1)/((2−a)e2)，a＜0(1)/(ea−1)，2＜a＜3(1)/(作业帮用户2017-09-21举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（1）将a=0代入f（x），即可得到f（x）的表达式，求出f′（x），根据导数的几何意义，切线的斜率k=f′（1），切点为（1，0），由点斜式即可得到函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）根据绝对值的定义，先将g（x）=|f（x）|转化为g（x）=xlnx−ax，x≥eaax−xlnx，x＜ea，①对g（x）分两段进行分析，当x≥ea时，令g′（x）＞0和g′（x）＜0，求解即可得到g（x）的单调区间，当x＜ea时，令g′（x）＞0和g′（x）＜0，求解即可得到g（x）的单调区间；②根据h（x）的定义域，以及分母不为零，可以得到a＞2或a＜0，当a＜0时，可以判断函数g（x）在[1，e2]上单调递增，从而得到g（x）的最大值，即可得到h（x）的最小值，当2＜a＜3时，根据g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而得到h（x）的最小值，当a≥3时，根据g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而得到h（x）的最小值，最后，将最小值根据a的不同取值范围，写成分段函数的形式，即可得到答案．名师点评本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性．考点点评：本题考查了函数的定义域及其求法，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值问题．对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围，要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))