若函数f（x）=alnx-x2-2(x>0)x+1x+a(x<0)的最大值为f（-1），则实数a的取值范围（）A.[0，2e2]B.[0，2e3]C.（0，2e2]D.（0，2e3]

Question

若函数f（x）=

alnx-x2-2(x>0)

x+(1)/(x)+a(x<0)

的最大值为f（-1），则实数a的取值范围（　　）

A. [0，2e²]

B. [0，2e³]

C. （0，2e²]

D. （0，2e³]

Answer 1

由f（-1）=-2+a，可得alnx-x²-2≤-2+a在x>0恒成立，
即为a（1-lnx）≥-x²，
当x=e时，0>-e²显然成立；
当00，可得a≥(x2)/(lnx-1)，
设g（x）=(x2)/(lnx-1)，0<x<e，
g′（x）=(2x(lnx-1)-x)/((lnx-1)2)=(x(2lnx-3))/((lnx-1)2)，
由0<x<e时，2lnx<2<3，则g′（x）<0，g（x）在（0，e）递减，
且g（x）<0，
可得a≥0；
当x>e时，有1-lnx<0，可得a≤(x2)/(lnx-1)，
设g（x）=(x2)/(lnx-1)，x>e，
g′（x）=(2x(lnx-1)-x)/((lnx-1)2)=(x(2lnx-3))/((lnx-1)2)，
由e<x<e (3)/(2)时，g′（x）<0，g（x）在（e，e (3)/(2)）递减，
由x>e (3)/(2)时，g′（x）>0，g（x）在（e (3)/(2)，+∞）递增，
即有g（x）在x=e (3)/(2)处取得极小值，且为最小值2e³，
可得a≤2e³，
综上可得0≤a≤2e³．
故选：B．