设函数f（x）=32x2-2ax(a>0)与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A.12e2B.12e2C.1eD.-32e2

Question

设函数f（x）=

(3)/(2)x2-2ax(a>0)与g（x）=a²lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（　　）

A.

(1)/(2e2)

B.

(1)/(2)e2

C.

(1)/(e)

D. -

(3)/(2e2)

Answer 1

设y=f（x）与y=g（x）（x>0）在公共点P（x₀，y₀）处的切线相同、
f′（x）=3x-2a，g′（x）=(a2)/(x)，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即(3)/(2)x₀²-2ax₀=a²lnx₀+b，3x₀-2a=(a2)/(x0)
由3x₀-2a=(a2)/(x0)得x₀=a或x₀=-(1)/(3)a（舍去），
即有b=(3)/(2)a²-2a²-a²lna=-(1)/(2)a²-a²lna．
令h（t）=-(1)/(2)t²-t²lnt（t>0），则h′（t）=2t（1+lnt），
于是当2t（1+lnt）>0，即0<t<(1)/(e)时，h′（t）>0；
当2t（1+lnt）<0，即t>(1)/(e)时，h′（t）<0．
故h（t）在（0，(1)/(e)）为增函数，在（(1)/(e)，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（(1)/(e)）=(1)/(2e2)，
故b的最大值为(1)/(2e2)．
故选A．