设A是mxn矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=-aE+ATA是正定阵,则a取值范围?BT=（-aE+ATA）T=-aE+ATA=B.B是对称阵.B正定推出对任意给的x不等于0,有xTBx=xT（-aE+ATA）x=-axTx+xTATAx=-axTx+（Ax）TAx大于0其中（Ax）T（Ax）

Question

设A是mxn矩阵,E是n阶单位阵,矩阵B=-aE+ATA是正定阵,则a取值范围?
BT=（-aE+ATA）T=-aE+ATA=B.B是对称阵.
B正定 推出 对任意给的x不等于0,有
xTBx=xT（-aE+ATA）x=-axTx+xTATAx=-axTx+（Ax）TAx大于0
其中（Ax）T（Ax）大于等于0,xTx大于0,
所以-a大于0,a小于0
请问,（Ax）T（Ax）大于等于0,xTx大于0 这个怎么来的?

Answer 1

这是向量内积的非负性.
即对任意n维列向量a,总是有 (a,a) >= 0.
等号成立的充分必要条件是 a=0.
x^Tx = (x,x) 是x的对应分量乘积之和
即若 x = (a1,...,an)^T,则 x^Tx = a1^2+...+an^2 >=0
Ax 也是一个列向量,也满足 (Ax)'(Ax) >=0