设二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx=ax1^2+2x2^2-2x3^2+2bx1x3,(b>0),其中,二次型矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12,(1)求a,b的值(2)求正交变换,化二次型f为标准型

Question

设二次型f(x1,x2,x3)=x^T Ax=ax1^2+2x2^2-2x3^2+2bx1x3,(b>0),其中,二次型矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12,(1)求a,b的值(2)求正交变换,化二次型f为标准型

Answer 1

解: A=
a 0 b
0 2 0
b 0 -2
由 tr(A)=a+2-2=1 得 a=1
由 |A|= -4-2b^2 = -12 且 b>0 得 b=2.
所以 A=
1 0 2
0 2 0
2 0 -2
|A-λE|=
1-λ 0 2
0 2-λ 0
2 0 -2-λ
= (2-λ)[(1-λ)(-2-λ)-4]
= (2-λ)(λ^2+λ-6)
= (2-λ)(λ-2)(λ+3).
(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T,a2=(2,0,1)^T
(A+3E)x=0 的基础解系为 a3=(1,0,-2)^T
将a1,a2,a3单位化构成正交矩阵Q
则 Y=QX 为正交变换, f=2y1^2+2y2^2-3y3^2.