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如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,M为BC上一点,且BM=MC=DC,∠DAM=50°,求∠AMC的度数.
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如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,M为BC上一点,且BM=MC=DC,∠DAM=50°,求∠AMC的度数.
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答案和解析
如图,延长AM交DC延长线于E,连接DM,
∵AB∥CD,
∴∠E=∠BAM=∠DAB-∠DAM=90°-50°=40°,
∵BM=MC,∠ABM=∠EMC,
∴△ABM≌△ECM(AAS),
∴AM=ME,即M为AE的中点,
∵∠ADC=90°,
∴MD=ME;
又∵CD=CM,所以∠1=∠2=∠E=40°,
∴∠AMD=∠1+∠E=40°=80°,
∴∠AMC=∠AMD+∠DMC=80°+40°=120°.
∵AB∥CD,
∴∠E=∠BAM=∠DAB-∠DAM=90°-50°=40°,
∵BM=MC,∠ABM=∠EMC,
∴△ABM≌△ECM(AAS),
∴AM=ME,即M为AE的中点,
∵∠ADC=90°,
∴MD=ME;
又∵CD=CM,所以∠1=∠2=∠E=40°,
∴∠AMD=∠1+∠E=40°=80°,
∴∠AMC=∠AMD+∠DMC=80°+40°=120°.
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