如图，在正方形ABCD中，E和F分别是BC和CD上的点，AG⊥EF，∠EAF=45°，求证：AG=AD．

Question

如图，在正方形ABCD中，E和F分别是BC和CD上的点，AG⊥EF，∠EAF=45°，求证：AG=AD．

Answer 1

证明：
延长CD到M，使DM=BE，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠ADM=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
在△ABE和△ADF中

AB＝AD

∠B＝∠ADF

BE＝DF

∴△ABE≌△ADF，
∴∠DAM=∠BAE，AE=AM，
∴∠FAM=∠DAF+∠DAM=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF，
在△EAF和△MAF中

AE＝AM

∠EAF＝∠MAF

AF＝AF

∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF，S_△EAF=S_△MAF，
∴(1)/(2)EF×AG=(1)/(2)MF×AD，
∴AG=AD．