已知随机变量X，Y以及XY的分布律如表所示：X012P121316Y012P131313XY0124P712130112求：（1）P（X=2Y）；（2）cov（X-Y，Y）与ρXY．

Question

已知随机变量X，Y以及XY的分布律如表所示：

X	0	1	2
P	(1)/(2)	(1)/(3)	(1)/(6)

Y	0	1	2
P	(1)/(3)	(1)/(3)	(1)/(3)

XY	0	1	2	4
P	(7)/(12)	(1)/(3)	0	(1)/(12)

求：（1）P（X=2Y）；  
（2）cov（X-Y，Y）与ρ_XY．

Answer 1

（I）
因为：
P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=(1)/(3)，P{XY=2}=P{X=1，Y=2}+P{X=2，Y=1}=0，P{XY=4}=P{X=2，Y=2}=(1)/(12)，
所以：
P{X=2，Y=1}=P{X=1，Y=2}=0，
P{X=0，Y=1}=P{Y=1}-P{X=1，Y=1}-P{X=2，Y=1}=0，
P{X=0，Y=2}=P{Y=2}-P{X=1，Y=2}-P{X=2，Y=2}=(1)/(4)，
P{X=0，Y=0}=P{X=0}-P{X=0，Y=1}-P{X=0，Y=2}=(1)/(4)，
故：P{X=2Y}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=2}=(1)/(4)．

（Ⅱ）
由已知条件：
E（X）=(2)/(3)，E（Y）=1，E（XY）=(2)/(3)，E（Y²）=(5)/(3)，
所以：
Cov（X-Y，Y）=Cov（X，Y）-Cov（Y，Y）=[E（XY）-E（X）E（Y）]-[E（Y²）-（E（Y））²]
=（(2)/(3)-(2)/(3)）-（(5)/(3)-1）=-(2)/(3)，
又：Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0，
所以 ρ_XY=(Cov(X，Y))/(√(D(X))√(D(Y)))=0．