求证当x+y+z=1√(x∧2+y∧2+z∧2+xy+yz+xz)≥√6/3不可以用柯西不等式用基本不等式证明

Question

求证 当x+y+z=1 √(x∧2+y∧2+z∧2+xy+yz+xz) ≥√6/3 不可以用柯西不等式 用基本不等式证明

Answer 1

证明：x＋y＋z＝1
(x＋y＋z)²＝1=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz
x²＋xy＋y²＋y²＋yz＋z²＋ z²＋zx＋x²
=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz+(x²+y²+z²-xy-xz-yz)
=1+(x²+y²+z²-xy-xz-yz)
=1+½(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)
=1+½[(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²]≥3/2
当且仅当x=y=z=1/3等号成立
∴√(x²+y²+z²+xy+yz+xz) ≥√6/3
得证