如图，圆中的弦AB与弦CD垂直于点E，点F在BC上，AC=BF，直线MN过点D，且∠MDC=∠DFC，求证：直线MN是该圆的切线．

Question

如图，圆中的弦AB与弦CD垂直于点E，点F在

BC

上，

AC

=

BF

，直线MN过点D，且∠MDC=∠DFC，求证：直线MN是该圆的切线．

Answer 1

证明：设该圆的圆心为点O，

在 O中，∵

AD

=

BF

，
∴∠AOC=∠BOF．
又∠AOC=2∠ABC，∠BOF=2∠BCF，
∴∠ABC=∠BCF．
∴AB∥CF．
∴∠DCF=∠DEB．
∵DC⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠DCF=90°．
∴DF为 O直径．
且∠CDF+∠DFC=90°．
∵∠MDC=∠DFC，
∴∠MDC+∠DFC=90°．
即  DF⊥MN．
又∵MN过点D，
∴直线MN是 O的切线．