设函数f（u，v，w）对所含变量具有二阶连续偏导数，则rot[gradf（x，xy，xyz）]=．

Question

设函数f（u，v，w）对所含变量具有二阶连续偏导数，则rot[gradf（x，xy，xyz）]=______．

Answer 1

∵由f（x，xy，xyz），设u=x，v=xy，w=xyz
∴f_x=f_u+yf_v+yzf_w，f_y=xf_v+xzf_w，f_z=xyf_w
∴gradf=（f_x，f_y，f_z）=（f_u+yf_v+yzf_w，xf_v+xzf_w，xyf_w）
∴根据旋度的公式，rot（gradf）=

.

i	j	k
(∂)/(∂x)	(∂)/(∂y)	(∂)/(∂z)
fx	fy	fz

.

=

.

i	j	k
(∂)/(∂x)	(∂)/(∂y)	(∂)/(∂z)
fu+yfv+yzfw	xfv+xzfw	xyfw

.

=[x(fw−fw)+x2y(fwv−fvw)+x2yz(fww−fww)]

i

+[y(fw−fw)+xy(fuw−fwu)+xy2(fvw−fwv)+xy2z(fww−fww)]

作业帮用户 2017-10-21 举报

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问题解析

先将gradf求出来（f_x，f_y，f_z），然后再根据旋度的公式

.

i	j	k
(∂)/(∂x)	(∂)/(∂y)	(∂)/(∂z)
fx	fy	fz

.

，计算出rot（gradf）即可．

名师点评

本题考点：

旋度的定义及计算公式；梯度的方向．

考点点评：

本题考查了多元复合函数的链式求导法则和梯度、旋度的求法，实际上此题如果知道梯度场是无旋场，也可以直接写答案．

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