一道数学题,帮帮忙!已知：x+y+z=0,xyz=1,求证x,y,z中有且只有一个不小于3次根号下4

Question

一道数学题,帮帮忙!
已知：x+y+z=0,xyz=1,求证x,y,z中有且只有一个不小于3次根号下4

Answer 1

证明：
现有
X+Y+Z = 0 (a)
XYZ = 1 (b)
由XYZ = 1可知XYZ负数的个数为偶,即0或2
如果XYZ中全部为正数或负数,则X+Y+Z = 0不成立
所以XYZ中有两个负数
设：X 因为X+Y+Z = 0
所以X+Y < -Z
X+Y > -3{4}
-(X+Y) < 3{4} (1)
由均值不等式可知
XY < (3{16}) /4 (2)
将(1)带入(b)可得
XYZ
= XY*(-(X+Y))
因为 XY < (3{16}) /4
-(X+Y) < 3{4}
所以 XY*(-(X+Y)) < [(3{16})/4] * [3{4}] = (3{16*4})/4 = 1
即 XY*(-(X+Y)) < 1
与题设矛盾
所以XYZ中必有且只有1个数大于等于3{4}

附：均值不等式的证明：
设 a , b均为正实数
( {a} - {b} )( {a} - {b} )
= a - 2{ab} + b >= 0
a + b >= 2 {ab}
3{4}为3次根号下4