limx趋近0[ln(a+x)+ln(a-x)-2lna]/x^2(a>0)

Question

lim x趋近0　[ln(a+x)+ln(a-x)-2lna]/x^2 (a>0)

Answer 1

解法一：（罗比达法则法）
原式=lim(x->0)[(1/(a+x)-1/(a-x))/(2x)] (0/0型极限,应用罗比达法则)
=lim(x->0)[((-2x)/(a²-x²))/(2x)]
=lim(x->0)[-1/(a²-x²)]
=-1/(a²-0²)
=-1/a²；
解法二：（重要极限法）
原式=lim(x->0)[(ln(a²-x²)-ln(a²))/x²]
=lim(x->0)[(ln(1-x²/a²)/x²]
=ln{lim(x->0)[(1-x²/a²)^(1/x²)]} (应用初等函数的连续性)
=ln{[lim(x->0)[(1+(-x²/a²))^(-a²/x²)]]^(-1/a²)} (应用初等函数的连续性)
=ln[e^(-1/a²)] (应用重要函数lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=-1/a².