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在复数集中解方程:Z拔=Z^3
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在复数集中解方程:Z拔=Z^3
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答案和解析
设Z=a+bi
则a-bi=(a+bi)^3=a^3+3a^2bi+3a(bi)^2+(bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i
所以a=a^3-3ab^2,-b=3a^2b-b^3
所以a=0或1=a^2-3b^2;b=0或1=b^2-3a^2
则1)a=0,b=0,Z=0
2)a=0,1=b^2-3a^2时b=1或b=-1,则Z=i或-i
3)1=a^2-3b^2,b=0,则a=1或-1,Z=1或Z=-1
4)1=a^2-3b^2,1=b^2-3a^2则1=a^2-3b^2=a^2-3(1+3a^2)=-3-8a^2,则8a^2=-4,所以无解
所以由1、2、3、4知道
Z=0,或Z=i,或Z-i,或Z=1,或Z=-1
则a-bi=(a+bi)^3=a^3+3a^2bi+3a(bi)^2+(bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i
所以a=a^3-3ab^2,-b=3a^2b-b^3
所以a=0或1=a^2-3b^2;b=0或1=b^2-3a^2
则1)a=0,b=0,Z=0
2)a=0,1=b^2-3a^2时b=1或b=-1,则Z=i或-i
3)1=a^2-3b^2,b=0,则a=1或-1,Z=1或Z=-1
4)1=a^2-3b^2,1=b^2-3a^2则1=a^2-3b^2=a^2-3(1+3a^2)=-3-8a^2,则8a^2=-4,所以无解
所以由1、2、3、4知道
Z=0,或Z=i,或Z-i,或Z=1,或Z=-1
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