已知空间方程Z=X^2+Y^2和Z=4-X^2-Y^2,请用定积分求两方程式所围成的有界立体的体积.

Question

已知空间方程Z=X^2+Y^2和Z=4-X^2-Y^2,请用定积分求两方程式所围成的有界立体的体积.

Answer 1

∵解方程组z=x²+y²与z=4-x²-y²,得x²+y²=2
∴所围成的体积在xy平面上的投影区域是S：x²+y²=2
故 所求体积=∫∫[(4-x²-y²)-(x²+y²)]dxdy
=∫∫[4-2(x²+y²)]dxdy
=∫dθ∫(4-2r²)rdr (应用极坐标变换)
=2π∫(4r-2r³)dr
=2π(2r²-r^4/2)│(0,√2)
=2π(4-2)
=4π