设函数f(x)=lgm-1i=1ix+mxam，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2，如果不等式f（x）>（x-1）lgm在区间[1，+

Question

设函数f(x)=lg (m-1i=1ix+mxa)/(m)，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2，如果不等式f（x）>（x-1）lgm在区间[1，+∞）有解，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

f（x）=lg(1+2x+3x+…+(m-1)x+mx•a)/(m)>（x-1）lgm=lgm^x-1，
∴(1+2x+3x+…+(m-1)x+mx•a)/(m)>m^x-1．
∴1-a<（(1)/(m)）^x+（(2)/(m)）^x+…+（(m-1)/(m)）^x=g（x）．
∵(1)/(m)，(2)/(m)，…，(m-1)/(m)∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴g（x）_max=g（1）=(1)/(m)+(2)/(m)+…+(m-1)/(m)=(m-1)/(2)．
由题意知，1-a<(m-1)/(2)，
∴a>(3-m)/(2)．又m是给定的正整数，且m≥2，故a>(1)/(2)
故答案为：a>(1)/(2)．