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设函数f(x)=lgm-1i=1ix+mxam,其中a∈R,m是给定的正整数,且m≥2,如果不等式f(x)>(x-1)lgm在区间[1,+
题目详情
设函数f(x)=lg
,其中a∈R,m是给定的正整数,且m≥2,如果不等式f(x)>(x-1)lgm在区间[1,+∞)有解,则实数a的取值范围是___.
| |||
m |
▼优质解答
答案和解析
f(x)=lg
>(x-1)lgm=lgmx-1,
∴
>mx-1.
∴1-a<(
)x+(
)x+…+(
)x=g(x).
∵
,
,…,
∈(0,1),
∴g(x)在[1,+∞)上单调递减.
∴g(x)max=g(1)=
+
+…+
=
.
由题意知,1-a<
,
∴a>
.又m是给定的正整数,且m≥2,故a>
故答案为:a>
.
1+2x+3x+…+(m-1) x+mx•a |
m |
∴
1+2x+3x+…+(m-1) x+mx•a |
m |
∴1-a<(
1 |
m |
2 |
m |
m-1 |
m |
∵
1 |
m |
2 |
m |
m-1 |
m |
∴g(x)在[1,+∞)上单调递减.
∴g(x)max=g(1)=
1 |
m |
2 |
m |
m-1 |
m |
m-1 |
2 |
由题意知,1-a<
m-1 |
2 |
∴a>
3-m |
2 |
1 |
2 |
故答案为:a>
1 |
2 |
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