如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC、BD交于点G，I1、I2、I3分别为△ADC、△BDC、△ABG的内心．证明：I3G⊥I1I2．

Question

如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC、BD交于点G，I₁、I₂、I₃分别为△ADC、△BDC、△ABG的内心．证明：I₃G⊥I₁I₂．

Answer 1

证明：分别连接AI₃，AI₁，DI₁，DI₂，CI₁，CI₂，
延长I₃G交I₁I₂于点H，
∵I₁、I₂、I₃分别为△ADC、△BDC、△ABG的内心，
∴∠AI₃G=90°+(1)/(2)∠ABD，∠AI₁C=90°+(1)/(2)∠ADC，
∴∠DI₁C=90°+(1)/(2)∠DAC，∴∠DI₂C=90°+(1)/(2)∠DBC，
∠1+∠2=(1)/(2)（∠DAC+∠BAC），
又∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DI₁C=∠DI₂C，
∴点D、I₁、I₂、C四点共圆，
∴∠I₂I₁C=∠I₂DC=(1)/(2)∠BDC=(1)/(2)∠BAC，
∴∠I₃HI₁=360°-（∠1+∠2+∠AI₃G+∠AI₁H）
∵∠1+∠2+∠AI₃G+∠AI₁H=(1)/(2)（∠DAC+∠BAC）+90°+(1)/(2)∠ABD+90°+(1)/(2)∠ADC-I₂I₁C
=180°+(1)/(2)（∠DAC+∠BAC+∠ABD+∠ADC+∠BAC）
=180°+(1)/(2)（∠ABD+∠DBC+∠ADC）
=270°，
∴∠I₃HI₁=360°-270°=90°，
∴I₃G⊥I₁I₂．