求所有整数k,使(1+i)^2k/(1-i)+(1-i)^2k/(1+i)=2^k成立

Question

求所有整数k,使(1+i)^2k/(1-i)+(1-i)^2k/(1+i)=2^k成立

Answer 1

(1+i)² = 1+2i+i² = 2i,(1-i)² = 1-2i+i² = -2i.
因此左端 = (2i)^k/(1-i)+(-2i)^k/(1+i)
= ((2i)^k·(1+i)+(-2i)^k·(1-i))/((1+i)(1-i))
= 2^k·(i^k·(1+i)+(-i)^k·(1-i))/2.
于是等式成立当且仅当(i^k·(1+i)+(-i)^k·(1-i))/2 = 1,也即i^k·(1+i)+(-i)^k·(1-i) = 2.
当k = 4m,有i^k = (i^4)^m = 1,(-i)^k = (-1)^k·i^k = 1.
此时i^k·(1+i)+(-i)^k·(1-i) = (1+i)+(1-i) = 2,等式成立.
当k = 4m+1,有i^k = i·i^(4m) = i,(-1)^k = -i·(-i)^(4m) = -i.
此时i^k·(1+i)+(-i)^k·(1-i) = i·(1+i)-i·(1-i) = -2,等式不成立.
当k = 4m+2,有i^k = i²·i^(4m) = -1,(-i)^k = (-i)²·(-i)^(4m) = -1.
此时i^k·(1+i)+(-i)^k·(1-i) = -(1+i)-(1-i) = -2,等式不成立.
当k = 4m+3,有i^k = i³·i^(4m) = -i,(-i)^k = (-i)³·(-i)^(4m) = i.
此时i^k·(1+i)+(-i)^k·(1-i) = -i·(1+i)+i·(1-i) = 2,等式成立.
综上,使等式成立的整数k是全体形如4m或4m+3的整数,即被4整除或除以4余3.