函数f（x）=-x3+3x2-ax-2a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）>0，则a的取值范围是．

Question

函数f（x）=-x³+3x²-ax-2a，若存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）>0，则a的取值范围是___．

Answer 1

由题意设g（x）=-x³+3x²，h（x）=a（x+2），
则g′（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），
所以g（x）在（-∞，0）、（2，+∞）上递减，在（0，2）上递增，
且g（0）=g（3）=0，g（2）=-2³+3•2²=4，
在一个坐标系中画出两个函数图象如图：
因为存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）>0，
即g（x₀）>h（x₀），
所以由图得x₀=2，则

a>0

g(2)>h(2)

g(1)≤h(1)

，即

a>0

4>4a

-1+3≤3a

，
解得23≤a<1，
所以a的取值范围是[(2)/(3)，1)，
故答案为：[(2)/(3)，1)．