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已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.
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已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于
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▼优质解答
答案和解析
证明:假设三式同时大于
,即(1−a)b>
,(1−b)c>
,(1−c)a>
…2分
三式同向相乘,得(1−a)a(1−b)b(1−c)c>
(*)…5分
又(1−a)a≤(
)2=
,…7分
同理(1−b)b≤
,(1−c)c≤
…9分
所以(1−a)a(1−b)b(1−c)c≤
,…11分
与*式矛盾,即假设不成立,故结论正确…12分
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三式同向相乘,得(1−a)a(1−b)b(1−c)c>
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又(1−a)a≤(
1−a+a |
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同理(1−b)b≤
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所以(1−a)a(1−b)b(1−c)c≤
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与*式矛盾,即假设不成立,故结论正确…12分
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