已知函数f（x）=exx-a（x-lnx）．（1）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(ex)/(x)-a（x-lnx）．
（1）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=(ex)/(x)-（x-lnx），f（1）=e-1，
求导，f′（x）=(ex(x-1))/(x2)-1+(1)/(x)，则f′（1）=0，
∴切线方程为y=e-1．
（2）求导，f′（x）=(ex(x-1))/(x2)-a（1-(1)/(x)）=((ex-ax)(x-1))/(x2)，
当a≤0时，对于∀x∈（0，+∞），e^x-ax>0恒成立，
∴f′（x）>0，x>1；
f′（x）<0，0<x<1，
∴单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（3）若f（x）在（0，1）内有极值，则f′（x）=0在x∈（0，1）内有解，
令f′（x）=((ex-ax)(x-1))/(x2)，e^x-ax=0，a=(ex)/(x)，
设g（x）=(ex)/(x)，x∈（0，1），则g′（x）=(ex(x-1))/(x)，当x∈（0，1）时，g′（x）<0恒成立，
g（x）单调递减，又g（1）=e，
又当x→0时，g（x）→∞，即g（x）在∈（0，1）上的值域为（e，+∞），
∴当a>e时，f′（x）=((ex-ax)(x-1))/(x2)=0，
设H（x）=e^x-ax，则H′（x）=e^x-a，x∈（0，1），
∴H（x）在x∈（0，1）单调递减，
由H（0）=1>0，H（1）=e-a<0，
∴H（0）=0，在x∈（0，1），有唯一解x₀，

x	（0，x0）	x0	（x0，1）
H（x）	+	0	-
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

∴当a>e时，f（x）在（0，1）内有极值且唯一，当a≤e时，当x∈（0，1），时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增，不成立，
综上，a的取值范围为（e，+∞）．