附加题：（二选一，请将解题过程解答在相应的框内，答错位置不给分；多答按第一问给分，不重复给分）（1）已知a，b，c＞0，且a2+b2=c2，求证：an+bn＜cn（n≥3，n∈R+）（2）已知x，y，z＞0

Question

附加题：（二选一，请将解题过程解答在相应的框内，答错位置不给分；多答按第一问给分，不重复给分）
（1）已知a，b，c＞0，且a²+b²=c²，求证：aⁿ+bⁿ＜cⁿ（n≥3，n∈R⁺）
（2）已知x，y，z＞0，则√(x2+y2+xy)+√(y2+z2+yz)＞√(z2+x2+xz)．

Answer 1

证明：（1）∵a²+b²=c²，且a，b，c＞0，∴((a)/(c))2+((b)/(c))2＝1，
∴0＜(a)/(c)＜1，0＜(b)/(c)＜1．
∴当n≥3时，((a)/(c))n＜((a)/(c))2，((b)/(c))n＜((b)/(c))2，
∴((a)/(c))n+((b)/(c))n＜((a)/(c))2+((b)/(c))2＝1，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．
（2）作∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，设|OA|=x，|OB|=y，|OC|=z．
由余弦定理得|AB|=√(x2+y2−2xycos120°)=√(x2+y2+xy)，
同理|BC|=√(y2+z2+yz)，|AC|=√(x2+z2+xz)．
根据三角形的两边之和大于第三边可得：
|AB|+|BC|＞|AC|，
∴√(x2+y2+xy)+√(y2+z2+yz)＞√(z2+x2+xz)．