x+y+z＝a（x＞0，y＞0，z＞0，a＞0）任取一点做切平面，求该切平面截三坐标轴所得三线段长度之和．

Question

√(x)+√(y)+√(z)＝√(a)（x＞0，y＞0，z＞0，a＞0）任取一点做切平面，求该切平面截三坐标轴所得三线段长度之和．

Answer 1

曲面方程为√(x)+√(y)+√(z)＝√(a)，
设F＝√(x)+√(y)+√(z)−√(a)，则有：
(∂F)/(∂x)＝(1)/(2√(x))，(∂F)/(∂y)＝(1)/(2√(y))，(∂F)/(∂z)＝(1)/(2√(z))，
所以，曲面上任一点切平面的法向量为((∂F)/(∂x)，(∂F)/(∂y)，(∂F)/(∂z))＝((1)/(2√(x))，(1)/(2√(y))，(1)/(2√(z)))=(1)/(2)((1)/(√(x))，(1)/(√(y))，(1)/(√(z)))
所以，全面上任一点（x₀，y₀，z₀）的切平面为：(1)/(√(x0))(x−x0)+(1)/(√(y0))(y−y0)+(1)/(√(z0))(z−z0)＝0
即(x)/(√(x0))+(y)/(√(y0))+(z)/(√(z0))−√(x0)−√(y0)−√(z0)=(x)/(√(x0))+(y)/(√(y0))+(z)/(√(z0))−√(a)＝0
所以，切平面在x轴上的截距m＝√(ax0)，在y轴上的截距为n＝√(ay0)，在z轴上的截距为l＝√(az0)
所以，切平面截三坐标轴所得三线段长度之和L＝m+n+l＝√(ax0)+√(ay0)+√(az0)=√(a)(√(x0)+√(y0)+√(z0))=√(a)×√(a)＝a．