已知函数f（x）=xlnx+x-k（x-1）在（1，+∞）内有唯一零点x0，若k∈（n，n+1），n∈Z，则n=．

Question

已知函数f（x）=xlnx+x-k（x-1）在（1，+∞）内有唯一零点x₀，若k∈（n，n+1），n∈Z，则n=___．

Answer 1

∵f（x）=xlnx+x-k（x-1），x∈（1，+∞），
∴f′（x）=1+lnx+1-k=lnx+2-k，
当k≤2时，f′（x）>0恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，且f（x）>f（1）=1，
∴f（x）在（1，+∞）上没有零点，
当k>2时，令f′（x）>0，解得x>e^k-2，函数f（x）单调递增，
令f′（x）<0，解得1k-2，函数f（x）单调递减，
∴f（x）_min=f（e^k-2）=（k-2）e^k-2+e^k-2-ke^k-2+k=-e^k-2+k，
∵f（x）=xlnx+x-k（x-1）在（1，+∞）内有唯一零点x₀，
∴f（x₀）=f（e^k-2）=0，
即-e^k-2+k=0，
令g（k）=-e^k-2+k，k>2．
∴g′（k）=-e^k-2<0恒成立，
∴g（k）在（2，+∞）上单调递减，
∵g（3）=-e+3>0，g（4）=-e²+4<0，
∴g（3）•g（4）<0，
∴k∈（3，4），
∵k∈（n，n+1），n∈Z，
∴n=3，
故答案为：3．