已知函数f(x)=alnx+x^2(a为实常数）（1）当a=-4时,求函数f(x)的单调区间（2）当x∈1,e]时,讨论方程f(x)=0根的个数.（3）若a>0且对任意的x1,x2∈[1,e],都有|f(x1)-f(x2)|

Question

已知函数f(x)_=alnx+x^2(a为实常数） （1）当a=-4时,求函数f(x)的单调区间 （2）当x∈【1,e]时,讨论方程f(x)=0根的个数.（3）若a>0且对任意的x1,x2∈[1,e],都有|f(x1)-f(x2)|

Answer 1

（1）f(x)的导数f'(x)=-4/x+2x,所以单调减区间为（-∞,-根号2】和（0,2】,单调增区间为（-根号2,0）和 （根号2,+∞）
（2）令f(x)alnx+x^2=0,则alnx=-x^2,令g(x)=-x^2,h(x)=alnx
法一：g(x)在（-∞.0】递增,在（0.-∞）递减
当a〉0时,h(x)为单调递增函数,在(0.+∞)递增
当a〈0时,h(x)为单调递减函数,在(0.+∞)递减
∴f(x)=0只有一个根.
法二：画出g(x)、h(x)的图像,标出交点.