证明：向量组{1,cosx,cos2x,.,cosnx}线性无关.

Question

证明：向量组{1,cosx,cos2x,.,cosnx}线性无关.

Answer 1

设：k0+k1cosx+k2cos2x+……+kncosnx＝0.
求0阶、4阶、8阶、……、4^（n-1）阶导数：
k0+k1cosx+k2cos2x+……+kncosnx＝0.
k1cosx+2^4k2cos2x+……+n^4kncosnx＝0.
k1cosx+（2^4）²k2cos2x+……+（n^4）²kncosnx＝0.
…………………………………………………………
k1cosx+（2^4）^（n-1）k2cos2x+……+（n^4）^（n-1）kncosnx＝0.
把k0、k1cosx、k2cos2x、……、kncosnx看成n+1个变量,系数矩阵等于一个
非零范德蒙行列式,
[麻烦楼主把它写出来,按第一列展开,就是一个非零范德蒙行列式]
∴k0＝k1cosx＝k2cos2x＝……＝kncosnx＝0
k0＝k1＝k2＝……＝kn＝0,
向量组{1,cosx,cos2x,.,cosnx}线性无关.