求∞n＝1(−1)n−1n(2n+1)的和S．

Question

求

∞

n＝1

((−1)n−1)/(n(2n+1))的和S．

Answer 1

由于(1)/(n(2n+1))=(1)/(n)−(2)/(2n+1)，因此

∞

n＝1

((−1)n−1)/(n(2n+1))=

∞

n＝1

(−1)n−1((1)/(n)−(2)/(2n+1))，
设S₁（x）=

∞

n＝1

(−1)n−1(xn)/(n)，x∈（-1，1]，
S₂（x）=2

∞

n＝1

(−1)n−1(x2n+1)/(2n+1)，x∈（-1，1]，
而S1′(x)＝

∞

n＝1

(−1)n−1((xn)/(n))′=

∞

n＝1

(−x)n−1＝(1)/(1+x)
∴S₁（x）=ln（1+x），x∈（-1，1]，
同理，S2′(x)＝2

∞

n＝1

(−1)n−1x2n＝2(x2)/(1+x2)=2(1−(1)/(1+x2))
∴S₂（x）=2x-2arctanx，x∈（-1，1]
∴S＝S1(1)−S2(1)＝ln2−2+(π)/(2)