如图，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D为CB延长线上一点，连AD，以AD为边在△ABC的同侧作正方形ADEF．（1）求证：∠EBD=45°；（2）求2DC−BCEB的值；（3）若AF=2，AC=2，连BF，则S△EBF=3+323+32．

Question

如图，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D为CB延长线上一点，连AD，以AD为边在△ABC的同侧作正方形ADEF．
（1）求证：∠EBD=45°；
（2）求(2DC−BC)/(EB)的值；
（3）若AF=2，AC=√(2)，连BF，则S_△EBF=

(√(3)+3)/(2)

(√(3)+3)/(2)

．

Answer 1

（1）如图1，作AM⊥DC于M，EN⊥DC于N，
∴∠END=∠DMA=90°．
∴∠DEN+∠NDE=90°．
∵四边形AFED是正方形，
∴ED=DA=AF，∠EDA=∠DAF=90°．
∴∠EDN+∠ADM=90°，
∴∠NED=∠MDA．
在△END和△DMA中，

∠END＝∠DMA

∠NED＝∠MDA

ED＝DA

，
∴△END≌△DMA（AAS），
∴EN=DM．ND=MA．
∵AB=AC，∠BAC=90°，AM⊥BC，
∴AM=BM=MC，
∴ND=BM，
∴ND+BD=BM+BD，
∴NB=DM，
∴NB=EN，
∴∠EBD=45°；
（2）如图2，作AM⊥DC于M，EN⊥DC于N，作EP⊥EB于E，交CB的延长线于P，
∴∠PEB=90°，
∴∠P=∠EBD=45°．
∵EN⊥BP，
∴PN=NB=EN．
∵EN=DM，
∴PN=DM．
∵ND=BM=MC，
∴PN+ND=DM+MC，
∴PD=DC，
∴PC=2DC．
在Rt△PEB中，∠EBD=45°，
∴PB=√(2)BE．
∵2DC-BC=PC-BC，
∴2DC-BC=PB=√(2)BE，
∴(2DC−BC)/(EB)＝√(2)；
（3）如图3，连接BF，作AM⊥DC于M，EN⊥DC于N，
∴∠END=∠DMA=90°．
∴∠DEN+∠NDE=90°．
∵四边形AFED是正方形，
∴ED=DA=AF，∠EDA=∠DAF=90°．
∴∠EDN+∠ADM=90°，
∴∠NED=∠MDA．
在△END和△DMA中，

∠END＝∠DMA

∠NED＝∠MDA

ED＝DA

，
∴△END≌△DMA（AAS），
∴EN=DM．
∵∠BAC=90°，
∴∠FAD=∠BAC，
∴∠FAD+∠DAB=∠BAC+∠DAB，
∴∠FAB=∠DAC．
在△FAB和△DAC中，

FA＝DA

∠FAB＝∠DAC

AB＝AC

，
∴△FAB≌△DAC（SAS），
∴S_△FAB=S_△DAC．
∵∠BAC=90°，AB=AC=√(2)，由勾股定理，得
BC=2．
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=AM=1．
∵AD=2，在Rt△ADM中，由勾股定理，得
DM=√(3)．
∴EN=√(3)，DB=√(3)-1，DC=√(3)+1．
∴S_△ADC=(√(3)+1)/(2)，S_△EDB=(√(3)(√(3)−1))/(2)=(3−√(3))/(2)，S_△ABC=(2×1)/(2)=1
∴S_△FAB=(√(3)+1)/(2)．
∵AF=2，
∴S_{正方形AFED}=4．
∵S_△EBF=S_{正方形AFED}+S_△DAC-S_△ABC-S_△FAB-S_△EDB，
=4+(√(3)+1)/(2)-(√(3)+1)/(2)-1-(3−√(3))/(2)=(√(3)+3)/(2)．
故答案为：(√(3)+3)/(2)．