（2013•汕头二模）已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中常数a∈R．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上是单调减函数，

Question

（2013•汕头二模）已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中常数a∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上是单调减函数，求a的取值范围；
（3）f′（x）函数f（x）的导函数，问是否存在实数x₀∈（1，e），使得对任意实数a，都有f′(x0)＝(f(e)−f(1))/(e−1)成立？若存在，请求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f（0）=0…（1分），x＜0时，
f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），
所以f(x)＝

ax+lnx，x＞0

0，x＝0

ax−ln(−x)，x＜0

（2）函数f（x）是奇函数，则f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，
当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，
当x＞0时，f（x）=ax+lnx，f/(x)＝a+(1)/(x)，
由f/(x)＝a+(1)/(x)＜0得a＜−(1)/(x)，−(1)/(x)在区间（1，+∞）的取值范围为（-1，0），
所以a的取值范围为（-∞，-1]
（3）存在．(f(e)−f(1))/(e−1)＝((ae+1)−a)/(e−1)＝a+(1)/(e−1)…，
解f/(x0)＝a+(1)/(x0)＝a+(1)/(e−1)，得x₀=e-1，
因为1＜e-1＜e，
所以x₀=e-1为所求．